讲到等比数列，大多数人都知道，有朋友问等比数列求和公式是什么时候学的，当然了，还有人想问等比数列求积公式公比，这到底是咋回事？事实上等比数列公式通项公式呢，今天小编和大家说说等比数列的所有公式，以供大家参考借鉴!
等比数列的所有公式
一、等比数列求和公式推导
由等比数列定义
a2=a1*q
a3=a2*q
a(n-1)=a(n-2)*q
an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q
即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q
当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)
当n=1时也成立.
当q=1时Sn=n*a1
所以Sn= n*a1（q=1） ；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1)。
二、等比数列求和公式推导
错位相减法
Sn=a1+a2 +a3 +...+an
Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q
以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q
三、等比数列求和公式推导
数学归纳法
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；
（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；
当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；
这就是说，当n=k+1时，等式也成立；
由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。
求和公式
求和公式推导：
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
（2）qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
（3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
（4）a(n+1)=a1qn
（5）Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1)
相关应用：
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有几盏灯。
每层塔所挂的灯的数量形成一个等比数列，公比q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。7层塔一共挂了381盏灯，S7=381，按照等比求和公式， 那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。
等比数列的公式
(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数）
(4)性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2
(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".
(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)
Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
(1-q)Sn=a1-a1*q^n
Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
等比数列的中项公式
等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有
等差中项：G=（a+b）除以2
等比数列的通项公式是：
若通项公式变形为
等比求和：
①当q≠1时，
②当q=1时，
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列前n项之和：
①当q≠1时，
②当q=1时，
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期
等比数列求积公式的推导
T(n)=a1·(a1q)·(a1q²)·(a1q³)...(a1q^(n-1))
=a1^n·q^(1+2+3+……n-1)
=a1^n·q^(n(n-1))/2
等比数列中求公比q的公式有哪些？这里的q最简便的求法是？
等比数列中求公比q的公式
1、等比数列中的等比中项公式，
已知前项a，后项b，中项G，则q=G/a=b/G；
2、等比数列通项公式，
an=a1q^（n－1），已知，a1，an和n，
则q^（n－1）= an/a1，
∴q=（an/a1）^[1/（n－1）；
3、等比数列前n项和公式，
（1）Sn=a1（1－q^n）/（1－q），q≠1，已知Sn，a1和n，
则（1－q^n）/（1－q）=Sn/a1，搜索
用尝试—逐步逼近法解这个高次方程，求得q的值。
（2））Sn=a1（1－anq）/（1－q），已知Sn，a1和anq
（1－q）=a1（1－anq）/Sn
∴q=1－a1（1－anq）/Sn。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。
等比数列求和公式
等比数列求和公式：
（1）q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
（2）q=1时，Sn=na1。(a1为首项，an为第n项，q为等比)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)的推导过程：
Sn=a1+a2+……+an
q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)
Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n
(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
等比数列的一些性质：
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
等比数列前n项和公式有两个，第二个是什么？
第一个公式：
第二个公式：
等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
等比数列求和公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：
若通项公式变形为
（2) 任意两项
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
（4）等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有
(5) 等比求和：
①当q≠1时，
②当q=1时，
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列是指如果一个 数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，a n为 常数列。
等比数列前n项和公式
等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：
因为an = a1q^(n-1)
所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)
qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)
（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。
（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn = a1(1-q^n)
即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列前n项和性质
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq。
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2。
④ 若G是a、b的等比中项，则G²=ab（G ≠ 0）。
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)。
⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。
